Se lanciamo un sasso verso l’alto, sappiamo che dopo un po’ di tempo il sasso ricadrà a terra.
Possiamo determinare l’altezza massima raggiunta e il tempo impiegato per raggiungerla, utilizzando le leggi del moto uniformemente accelerato. L’accelerazione costante è in questo caso l’accelerazione di gravità \( g \).
La legge di velocità per questo moto uniformemente accelerato è $$v(t) = v_0-gt$$
Nel punto di massimo la velocità è nulla, quindi possiamo determinare il tempo impiegato per raggiungere il massimo: $$v(t_{MAX})=0 \ \Longrightarrow \ v_0-gt_{MAX}=0 \ \Longrightarrow \ t_{MAX} = \frac{v_0}{g}$$
L’altezza massima può essere determinata sostituendo l’espressione per \(t_{MAX}\) appena trovata nella legge oraria del moto uniformemente accelerato: $$h_{MAX}=v_0 t_{MAX} – \frac{1}{2} g t_{MAX}^2 = v_0 \left ( \frac{v_0}{g} \right )- \frac{1}{2} g \left ( \frac{v_0}{g} \right ) ^2 = \frac{v_0^2}{g} – \frac{1}{2} g \frac{v_0^2}{g^2} = \frac{v_0^2}{g} – \frac{1}{2} \frac{v_0^2}{g} = \frac{1}{2} \frac{v_0^2}{g}$$
Se la velocità con cui lanciamo l’oggetto verso l’alto è più grande, il sasso raggiungerà un’altezza dal suolo maggiore e impiegherà più tempo per raggiungere terra. La trattazione scritta sopra è corretta finchè possiamo considerare costante l’accelerazione di gravità.
Ma cosa succede se continuiamo ad aumentare la velocità iniziale?
Ci sarà una velocità per cui il corpo non ricade più a terra. Questa velocità è chiamata velocità di fuga, poiché rappresenta la velocità minima che consente ad un oggetto di fuggire dal nostro pianeta (o da qualsiasi altro corpo celeste su cui ci troviamo).
L’espressione matematica per la velocità di fuga si può ricavare utilizzando la legge di conservazione dell’energia meccanica: $$ K_i+U_i = K_f+U_f $$ dove \(K\) indica l’energia cinetica, \(U\) indica l’energia potenziale gravitazionale e i pedici \( i\) e \(f \) indicano l’istante iniziale e finale rispettivamente.
Ricordiamo le espressioni per l’energia cinetica e l’energia potenziale gravitazionale: $$K=\frac{1}{2} m v^2$$ $$U=-G \frac{mM}{r}$$ dove \(m\) e \(v\) indicano la massa e la velocità del corpo, \(M\) la massa del pianeta e \(r\) la distanza del corpo dal centro del pianeta. Inoltre, $$G=6,67\cdot10^{-11} \ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2}$$ è la costante di gravitazione universale.
Considerando che la velocità finale è nulla e quindi anche l’energia cinetica finale è nulla e che la distanza finale è infinita e che questa corrisponde ad energia potenziale gravitazionale nulla, la conservazione dell’energia meccanica può essere scritta: $$\frac{1}{2} m v_{fuga}^2 -G \frac{mM}{R} = 0$$
Da cui ricaviamo l’espressione per la velocità di fuga: $$v_{fuga} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$
Esempio: velocità di fuga per la Terra
La Terra ha massa \( M_T = 5,97\cdot 10^{24} \ \mbox{kg}\) e raggio \(R_T =6,37\cdot 10^{6} \ \mbox{m} \) (dati: NASA, Earth Fact Sheet), quindi per un corpo che venga lanciato dalla superficie del pianeta Terra la velocità di fuga è: $$v_{fuga} = \sqrt{\frac{2 \left (6,67\cdot10^{-11} \ \frac{\mbox{N}\cdot\mbox{m}^2}{\mbox{kg}^2} \right)(5,97\cdot 10^{24} \ \mbox{kg})}{6,37\cdot 10^{6} \ \mbox{m}}} = 1,12\cdot 10^4\ \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}$$ ovvero \(11,2 \ \mbox{km/s}\).