Consideriamo una struttura algebrica $ (A, \cdot ) $, dove $ A $ è un insieme e $ \cdot $ è un’operazione binaria interna su $ A $ , ovvero una funzione $ A \times A \require{extpfeil} \Newextarrow{\xrightharpoonup}{5,10}{0x2192} \xrightharpoonup{\cdot} A$.

Per indicare l’operazione interna si potrebbe utilizzare qualsiasi altro simbolo la fantasia suggerisca, ad esempio $ \spadesuit $.

Semigruppi

La struttura algebrica $ (A, \cdot ) $ è detta semigruppo se:

l’operazione interna $ \cdot $ è associativa, ovvero $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c )\ \qquad \forall a, b, c \in A $$

Monoidi

La struttura algebrica $ (A, \cdot ) $ è detta monoide se:

l’operazione interna $ \cdot $ è associativa, ovvero $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c )\ \qquad \forall a, b, c \in A $$
esiste l’elemento neutro $e$ rispetto all’operazione $ \cdot $, ovvero $$ \exists \ e \in A : a \cdot e = a = e \cdot a \ \qquad \forall a \in A $$

Gruppi

La struttura algebrica $ (A, \cdot ) $ è detta gruppo se:

l’operazione interna $ \cdot $ è associativa, ovvero $$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c )\ \qquad \forall a, b, c \in A $$
esiste l’elemento neutro $e$ rispetto all’operazione $ \cdot$, ovvero $$ \exists \ e \in A : a \cdot e = a = e \cdot a \ \qquad \forall a \in A $$
per ogni elemento dell’insieme $ a $ esiste l’elemento inverso rispetto all’operazione interna $ \cdot$, ovvero $$ \forall a \in A, \qquad \exists \ a’ \in A : a \cdot a’ = e = a’ \cdot a $$

Gruppi abeliani

Un gruppo $ A, \cdot $ è detto commutativo o abeliano se

l’operazione interna $ \cdot $ è commutativa, ovvero $$ a \cdot b = b \cdot a \ \qquad \forall a,b \in A $$