Consideriamo una matrice con $m$ righe e $n$ colonne e coefficienti in $ \mathbb{K} $, ovvero $ A \in \mathcal{M} (m \times n , \mathbb{K} ) $.

Indichiamo con $A_i$ la $i$-esima riga e con $A^j$ la $j$-esima colonna.

$$\begin{align}
A_i \ &\in \ \mathcal{M} (1 \times n, \mathbb{K}) \ (\mbox{ oppure } \mathbb{K}^n) \quad &\forall \ i= 1 \dots m \\
A^j \ &\in \ \mathcal{M} (m \times1, \mathbb{K}) \quad &\forall \ j= 1 \dots n
\end{align}$$

Lo spazio riga della matrice $A$ è $ \mathscr{L}(A_1 , A_2, \dots, A_m) $, è un sottospazio vettoriale di $ \mathbb{K}^n $.

Lo spazio colonna della matrice $A$ è $ \mathscr{L}(A^1 , A^2, \dots, A^n) $, è un sottospazio vettoriale di $ \mathcal{M} (m \times1, \mathbb{K}) $.

Definizione di rango

Il rango per riga della matrice $A$ è $ \mathscr{rg}_r (A) = \mbox{dim} ( \mathscr{L}(A_1 , A_2, \dots, A_m) ) $.

Il rango per colonna della matrice $A$ è $ \mathscr{rg}_c (A) = \mbox{dim} ( \mathscr{L}(A^1 , A^2, \dots, A^n) ) $.

Si può dimostrare che $ \mathscr{rg}_r (A) = \mathscr{rg}_c (A) $ e possiamo indicarlo con $ \mathscr{rg} (A) $.

Il rango di $A$ è un numero minore o uguale del minimo tra $m$ e $n$:

$$ \mathscr{rg} (A) \le \min(m,n)$$

Infatti, le righe sono $ m$ quindi $ \mathscr{rg} (A) \le m $ come conseguenza del teorema fondamentale dell’algebra lineare, e $ \mathscr{L}(A_1 , A_2, \dots, A_m) $ è un sottospazio vettoriale di $ \mathbb{K}^n $, quindi $ \mathscr{rg} (A) \le n $.

Rango di una matrice a scaletta

Zeri iniziali

Sia $ v = (x_1 , \dots , x_n) \ne ( 0, \dots , 0) \in \mathbb{K}^n$.

Si dice che $ v $ ha $ p $ zeri iniziali se $x_i=0$ per $i=1 \dots p $, ma $x_ {p+1}\ne0$.

Lo indichiamo con $z_i$: $ p = z_i (v) $.

Definizione di matrice a scaletta

Una matrice $ A \in \mathcal{M} (m \times n , \mathbb{K} ) $ si dice a scaletta se

le eventuali righe nulle sono in basso: $ A_i = 0 \Longrightarrow A_{i+1} = 0 $
una riga ha più zeri iniziali della precedente: se $ A_i \ne 0 \ \forall \ i \ge 2 \quad z_i(A_{i-1} ) < z_i (A_i )$

Proposizione

Se $ A $ è una matrice a scaletta, il suo rango è uguale al numero delle righe non nulle.

Dimostrazione

Sia $ A \in \mathcal{M} (m \times n , \mathbb{K} ) $ , con $ A_1, \dots , A_t \ne 0 $ e $ A_{t+1}, \dots , A_m = 0 $.

Dobbiamo provare che $ \mathscr{rg}_r (A) = t $ ($ t $ è il numero di righe non nulle).

Osserviamo che

$$ \mathscr{L} (A_1 , \dots , A_t , A_{t+1} , \dots , A_m) = \mathscr{L} (A_1 , \dots , A_t )$$

infatti, gli altri vettori sono il vettore nullo.

Proviamo che i vettori $ A_1 , \dots , A_t $ sono linearmente indipendenti.

Possiamo scrivere questi vettori:

$$\begin{align}
A_1 &= (0, \dots , &a_{1\ z_i(A_1)+1 } , &\dots &) \\
A_2 &= (0, \dots , &0, a_{2\ z_i(A_2)+1 } , &\dots &) \\
\vdots \\
A_t &= (0, \dots , &0, &a_{t\ z_i(A_t)+1 } , \dots &)
\end{align}$$

dove $a_{1\ z_i(A_1)+1 }, a_{2\ z_i(A_2)+1 }, \dots, a_{t\ z_i(A_t)+1 } \ne 0 $.

Siano $ \lambda_1, \dots, \lambda_t $ degli scalari tali che

$$ \lambda_1A_1 + \lambda_2A_2 + \dots + \lambda_tA_t = 0 = \{ 0, \dots, 0 \} $$

Si ha che $ \lambda_1A_1 $. Poichè $a_{1\ z_i(A_1)+1 } \ne 0 $ segue che $ \lambda_1 =0 $.

Si procede in maniera analoga per tutti gli altri elementi ottenendo che tutti gli scalari $ \lambda_i $ sono nulli. Quindi i vettori $ A_1 , \dots , A_t $ sono linearmente indipendenti.

Poichè i vettori $ A_1 , \dots , A_t $ sono linearmente indipendenti, $ \{ A_1 , \dots , A_t \} $ è una base di $ \mathscr{L} (A_1 , \dots , A_t ) $, che ha quindi dimensione pari a $ t $.

Concludiamo che

$$ \mathscr{rg}_r (A) = \mbox{dim} ( \mathscr{L}(A_1 , \dots, A_t) ) = t $$

Come calcolare il rango di una matrice

Per calcolare il rango di una matrice ci si riconduce ad una matrice a scaletta utilizzando le operazioni elementari sulle righe:

scambiare tra loro due righe
moliplicare una riga per $ \lambda \ne 0 $
sostituire una riga con la somma di quella riga e di un’altra riga

Ottenuta una matrice a scaletta, il rango è uguale al numero delle sue righe non nulle.

Esempio

Determinare il rango della matrice

$$ A =
\begin{pmatrix}
3 & -1 & 5 & 0 \\
1 & 2 & -4 & 3 \\
5 & -4 & 14 & -3
\end{pmatrix} $$

$$ \begin{align} \mathscr{rg} (A) &=
\mathscr{rg} \begin{pmatrix}
3 & -1 & 5 & 0 \\
0 & -7 & 17 & -9 \\
5 & -4 & 14 & -3
\end{pmatrix} \\ &=
\mathscr{rg} \begin{pmatrix}
3 & -1 & 5 & 0 \\
0 & -7 & 17 & -9 \\
0 & 7 & -17 & 9
\end{pmatrix} \\ &=
\mathscr{rg} \begin{pmatrix}
3 & -1 & 5 & 0 \\
0 & -7 & 17 & -9 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} = 2 \end{align}$$