Consideriamo le due equazioni fondamentali dell’elettrostatica in forma differenziale:
- divergenza del campo elettrostatico $$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad (1)$$
- rotore del campo elettrostatico $$\nabla \times \vec{E} =0$$
Poichè il rotore del campo elettrostatico è nullo, possiamo defininire il potenziale \( V\): $$\vec{E} = – \nabla V \qquad (2)$$
Nota la densità di carica \(\rho\) possiamo determinare il campo elettrostatico \(\vec{E} = \vec{E} (x,y,z)\) e quindi il potenziale elettrostatico \(V =V (x,y,z)\).
Combinando le due equazioni \((1)\) e \((2)\) otteniamo: $$\nabla \cdot (- \nabla V) = \frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad \Longrightarrow \qquad \nabla \cdot \nabla V = – \frac{\rho}{\epsilon_0}$$
Richiamiamo la definizione dell’operatore laplaciano \(\nabla^2\): $$\nabla^2 \equiv \nabla \cdot \nabla \equiv \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$
Possiamo quindi scrivere l’equazione di Poisson: $$\nabla^2 V = – \frac{\rho}{\epsilon_0}$$
Se \( \rho = 0\) abbiamo l’equazione di Laplace: $$\nabla^2 V =0 $$