Equazione di Poisson

Consideriamo le due equazioni fondamentali dell’elettrostatica in forma differenziale:

• divergenza del campo elettrostatico $$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad (1)$$
• rotore del campo elettrostatico $$\nabla \times \vec{E} =0$$

Poichè il rotore del campo elettrostatico è nullo, possiamo defininire il potenziale $V$: $$\vec{E} = – \nabla V \qquad (2)$$

Nota la densità di carica $\rho$ possiamo determinare il campo elettrostatico $\vec{E} = \vec{E} (x,y,z)$ e quindi il potenziale elettrostatico $V =V (x,y,z)$.

Combinando le due equazioni $(1)$ e $(2)$ otteniamo: $$\nabla \cdot (- \nabla V) = \frac{\rho}{\epsilon_0} \qquad \Longrightarrow \qquad \nabla \cdot \nabla V = – \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

Richiamiamo la definizione dell’operatore laplaciano $\nabla^2$: $$\nabla^2 \equiv \nabla \cdot \nabla \equiv \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

Possiamo quindi scrivere l’equazione di Poisson: $$\nabla^2 V = – \frac{\rho}{\epsilon_0}$$

Se $\rho = 0$ abbiamo l’equazione di Laplace: $$\nabla^2 V =0$$