L’insieme quoziente \( \mathbb{Z}_n \), con \( n \in \mathbb{N}_0\), contiene tutte le classi di congruenza di modulo \( n\). Questo insieme con l’operazione addizione \(+\) è un gruppo abeliano. Ci chiediamo se lo stesso insieme con l’operazione moltiplicazione \(\cdot\) è un gruppo abeliano.
Osserviamo anzitutto che vale la proprietà associativa, come conseguenza del fatto che la moltiplicazione nell’insieme \( \mathbb{Z} \) gode di tale proprietà:
$$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c )\ \qquad \forall a, b, c \in \mathbb{Z}_n $$
Meno banale è la discussione sull’esistenza dell’elemento neutro e dell’inverso per ciascun elemento dell’insieme.
L’elemento \( [0]_n \) moltiplicato per qualsiasi elemento di \( \mathbb{Z}_n \) dà come risultato \( [0]_n \), mentre l’elemento \( [1]_n \) moltiplicato per qualsiasi elemento \(a\) di \( \mathbb{Z}_n \), eccetto \( [0]_n \), dà come risultato \(a\).
Quindi possiamo considerare l’insieme \( \mathbb{Z}_n – [0]_n \): l’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione è \( [1]_n \), infatti, avendo escluso \( [0]_n \), \( [1]_n \) moltiplicato per qualsiasi elemento \(a\) di questo insieme dà come risultato \(a\):
$$ \exists \ e \in \mathbb{Z}_n – [0]_n : a \cdot e = a = e \cdot a \ \qquad \forall a \in \mathbb{Z}_n – [0]_n $$
Ci dobbiamo ora chiedere se esiste l’elemento inverso per ciascun elemento di \( \mathbb{Z}_n – [0]_n \). Per esplorare questo punto consideriamo 3 esempi: \( \mathbb{Z}_4 – [0]_4 \) , \( \mathbb{Z}_5 – [0]_5 \) , \( \mathbb{Z}_6 – [0]_6 \). Costruiamo le tavole di Cayley:
| $$\cdot$$ | $$[1]_4$$ | $$[2]_4$$ | $$[3]_4$$ |
| $$[1]_4$$ | $$[1]_4$$ | $$[2]_4$$ | $$[3]_4$$ |
| $$[2]_4$$ | $$[2]_4$$ | $$[0]_4$$ | $$[2]_4$$ |
| $$[3]_4$$ | $$[3]_4$$ | $$[2]_4$$ | $$[1]_4$$ |
| $$\cdot$$ | $$[1]_5$$ | $$[2]_5$$ | $$[3]_5$$ | $$[4]_5$$ |
| $$[1]_5$$ | $$[1]_5$$ | $$[2]_5$$ | $$[3]_5$$ | $$[4]_5$$ |
| $$[2]_5$$ | $$[2]_5$$ | $$[4]_5$$ | $$[1]_5$$ | $$[3]_5$$ |
| $$[3]_5$$ | $$[3]_5$$ | $$[1]_5$$ | $$[4]_5$$ | $$[2]_5$$ |
| $$[4]_5$$ | $$[4]_5$$ | $$[3]_5$$ | $$[2]_5$$ | $$[1]_5$$ |
| $$\cdot$$ | $$[1]_6$$ | $$[2]_6$$ | $$[3]_6$$ | $$[4]_6$$ | $$[5]_6$$ |
| $$[1]_6$$ | $$[1]_6$$ | $$[2]_6$$ | $$[3]_6$$ | $$[4]_6$$ | $$[5]_6$$ |
| $$[2]_6$$ | $$[2]_6$$ | $$[4]_6$$ | $$[0]_6$$ | $$[2]_6$$ | $$[4]_6$$ |
| $$[3]_6$$ | $$[3]_6$$ | $$[0]_6$$ | $$[3]_6$$ | $$[0]_6$$ | $$[3]_6$$ |
| $$[4]_6$$ | $$[4]_6$$ | $$[2]_6$$ | $$[0]_6$$ | $$[4]_6$$ | $$[2]_6$$ |
| $$[5]_6$$ | $$[5]_6$$ | $$[4]_6$$ | $$[3]_6$$ | $$[2]_6$$ | $$[1]_6$$ |
Dall’osservazione delle precedenti tabelle possiamo verificare che solo gli elementi \( [a]_n \) di \( \mathbb{Z}_n – [0]_n \) per cui \( a \) e \( n \) sono coprimi possiedono l’elemento inverso. Nel dettaglio:
- \( \mathbb{Z}_4 – [0]_4 \) : \( [2]_4 \) non ha l’elemento inverso, infatti \( 2 \) e \( 4 \) non sono coprimi.
- l’inverso di \( [1]_4 \) è \( [1]_4 \)
- l’inverso di \( [3]_4 \) è \( [3]_4 \)
- \( \mathbb{Z}_5 – [0]_5 \) : tutti gli elementi hanno l’inverso, infatti \( 5\) è un numero primo, quindi tutti i numeri sono coprimi con esso.
- l’inverso di \( [1]_5 \) è \( [1]_5 \)
- l’inverso di \( [2]_5 \) è \( [3]_5 \)
- l’inverso di \( [3]_5 \) è \( [2]_5 \)
- l’inverso di \( [4]_5 \) è \( [4]_5 \)
- \( \mathbb{Z}_6 – [0]_6 \) : \( [2]_6 \), \( [3]_6 \) e \( [4]_6 \) non hanno l’elemento inverso, infatti \( 2 \) e \( 6 \), \( 3 \) e \( 6 \), \( 4 \) e \( 6 \) non sono coprimi.
- l’inverso di \( [1]_6 \) è \( [1]_6 \)
- l’inverso di \( [5]_6 \) è \( [5]_6 \)
Indicando con \( \mathbb{Z}^*_n \) l’insieme degli elementi di \( \mathbb{Z}_n – [0]_n \) che possiedono l’inverso, la coppia ordinata \( ( \mathbb{Z}^*_n , \cdot ) \) è un gruppo.
Riprendendo gli esempi sopra:
- \( \mathbb{Z}^*_4 = \{ [1]_4 , [3]_5 \} \)
- \( \mathbb{Z}^*_5 = \{ [1]_5 , [2]_5 , [3]_ 5 , [4]_5 \} \)
- \( \mathbb{Z}^*_6 = \{ [1]_5 , [5]_6 \} \)