Secondo teorema di Köning

Consideriamo un sistema di \(N\) particelle, ciascuna delle quali si muove con velocità \(\vec{v}_i\) nel sistema di riferimento del laboratorio.

Per ciascuna particella l’energia cinetica è $$K_i = \frac{1}{2} m_i v_i^2$$

Per ottenere l’energia cinetica totale del sistema sommiamo le energie cinetiche delle \(N\) particelle:

$$K = \sum_i^N K_i = \sum_i^N \frac{1}{2} m_i v_i^2 $$

Ora vogliamo riscrivere l’energia cinetica mettendo in evidenza il contributo del centro di massa.

Anzitutto notiamo che le velocità \(\vec{v}_i\) delle particelle possono essere scritte introducendo le velocità \(\vec{v}_i’\) nel sistema di riferimento del centro di massa semplicemente così:

$$ \vec{v}_i = \vec{v}_{CM} + \vec{v}_i’$$

dove con \( \vec{v}_{CM} \) indichiamo ovviamente la velocità del centro di massa nel sistema di riferimento del laboratorio.

Quindi i termini \(v_i^2\) che compaiono nella definizione dell’energia cinetica, possono essere così riscritti:

$$ \begin{aligned} v_i^2 &= \vec{v}_i \cdot \vec{v}_i = ( \vec{v}_{CM} + \vec{v}_i’ ) \cdot ( \vec{v}_{CM} + \vec{v}_i’ ) \\ &= v_{CM}^2 + v_i’^2 + 2 \vec{v}_{CM} \cdot \vec{v}_i’ \end {aligned} $$

! Attenzione! “\(\cdot\)” rappresenta il prodotto scalare.

A questo punto ci serve un po’ di algebretta:

$$ \begin{aligned} K &= \sum_i^N K_i = \sum_i^N \frac{1}{2} m_i v_i^2 \\ &= \sum_i^N \frac{1}{2} m_i ( v_{CM}^2 + v_i’^2 + 2 \vec{v}_{CM} \cdot \vec{v}_i’ ) \\ &= \sum_i^N \frac{1}{2} m_i v_{CM}^2 + \sum_i^N \frac{1}{2} m_i v_i’^2 + \sum_i^N \frac{1}{2} m_i \left ( 2 \vec{v}_{CM} \cdot \vec{v}_i’ \right ) \\ &= \sum_i^N \frac{1}{2} m_i v_{CM}^2 + \sum_i^N \frac{1}{2} m_i v_i’^2 + \sum_i^N m_i \vec{v}_{CM} \cdot \vec{v}_i’ \\ &= \frac{1}{2} \left ( \sum_i^N m_i \right ) v_{CM}^2 + \sum_i^N \frac{1}{2} m_i v_i’^2 + \left ( \sum_i^N m_i \vec{v}_i’ \right ) \cdot \vec{v}_{CM} \\ &= \frac{1}{2} M v_{CM}^2 + K_{int} + \left ( \sum_i^N \vec{p}_i’ \right ) \cdot \vec{v}_{CM} \\ &= \frac{1}{2} M v_{CM}^2 + K_{int} \end {aligned} $$

Nei calcoli precedenti abbiamo utilizzato, in particolare:

• \( M = \left ( \sum_i^N m_i \right ) \) è la massa totale del sistema di particelle;
• possiamo definire l’energia cinetica interna del sistema: $$ K_{int} = \sum_i^N \frac{1}{2} m_i v_i’^2 $$
• \( p_i’ = m_i \vec{v}_i’ \) è la quantità di moto di una particella nel sistema di riferimento del centro di massa;
• \( \sum_i^N \vec{p}_i’ = 0 \) .

Abbiamo così dimostrato il secondo teorema di Köning:

$$ K = \frac{1}{2} M v_{CM}^2 + K_{int} $$